连续性的三件套
判断 $f(x)$ 在 $x_0$ 是否连续，三项缺一不可。
函数连续性与间断点：把极限和函数值接起来
第6期。用「靠近点」和「站在点上」的区别讲清函数连续性的三件套：函数值存在、极限存在、二者相等；配两道基础例题演示分段函数拼接点判断和补值连续，并整理可去、跳跃、第二类三种间断点。
连续最朴素的图像感是「笔不离纸」。但考试里不能只靠画图，因为同一张图上，一个空心点、一个跳台阶、一个竖直爆掉的尖峰，都会让函数在某点不连续。
这期先把判断标准压成一句话：在点 连续，就是 时函数值的极限存在，而且刚好等于函数在该点的取值。 连续函数通常被理解为输入发生足够小的变化时，输出也只发生足够小的变化；严格到一点上，就写成 。1
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直觉铺垫：靠近点，不等于站在点上
先看 。当 靠近 1 时， 靠近 1；而函数在 1 处的值也是 1，所以它在 1 处连续。
再看一个挖掉点的函数：
当 时，，所以 时极限是 2。可函数偏偏规定 。图像左右都朝着 2 走，到了点上却落在 0，这就断了。
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精确定义：连续就是一个等式成立
设函数 在 的某个邻域内有定义。若
就说 在 处连续。
把它拆开看，就是三步：
- 先看点上有没有值： 必须存在。
- 再看靠近时有没有共同终点：左极限、右极限都要存在且相等。
- 最后比较终点和值：极限值必须等于 。
如果函数在区间内每一点都连续，就说它在这个区间上连续。多项式函数在整个实数轴上连续；分式函数则要先排除分母为 0 的点，再谈它在定义域内的连续性。
例题 1：判断分段函数在拼接点是否连续
判断函数
在 处是否连续。
分析思路：分段函数最怕拼接点。只要检查左极限、右极限和点上函数值。
左边靠近：
右边靠近：
点上取值：因为 属于第二段，
三者都等于 2，所以 在 处连续。
例题 2：补上一个值，让函数连续
设
若 在 处连续，求 。
当 时，
所以
要连续，就必须让点上的值等于这个极限：
这类题的核心不是「把 代进去」，而是先把可约去的因子处理掉，再看靠近时应该落到哪里。
间断点：三种常见断法
函数不连续的点叫间断点。在一元实函数里，常按左右极限的行为来区分：可去间断、跳跃间断和第二类间断。可去间断的左右极限相等但点上取值不对或未定义；跳跃间断的左右极限都存在但不相等；第二类间断至少有一侧极限不存在或趋于无穷。2
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常见误区：连续不是「看起来差不多」
第一，函数值存在不代表连续。只给 安一个值，不能保证附近的函数值会靠近它。
第二，极限存在也不代表连续。例题 2 里， 的极限是 4；如果点上规定成 ，函数仍然不连续。
第三，分段函数不要只代入拼接点。左右两侧的表达式可能把图像接上，也可能留下台阶。判断顺序永远是：左极限、右极限、函数值。
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学到这里，极限这一章的主线就收束了：极限负责描述「靠近时会怎样」，连续性则把「靠近的结果」和「点上的真实取值」接在一起。下一讲进入导数：先从平均变化率走到瞬时变化率。
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